読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

知らないことを調べるブログ

映画の分からないところを調べてまとめる場所にしていきます。

マトリョーシカみたいなやり方で2の倍数を二つ作って、はじめに仕掛けておいた互いに素をバーンとさせる

 背理法の練習。互いに素が最後にバーンとくるのが面白かった。でも、どうして有理数であることを示すために互いに素を持ち出すんだろう? 調べると、最後にバーンとこさせるためだとわかった。それと、既約という用語の意味もわかった。

 問題はこれ。白チャート1Aのp93。

√2は無理数であることを、背理法を用いて証明せよ。ただし、整数nについて、n^2が偶数であるならば、nは偶数であることを用いてよい。


 証明はこう。

√2は無理数でない、すなわち有理数であると仮定する。
このとき、√2は、1以外の正の公約数をもたない自然数m,nを用いて
√2=m/n……①と表される。
①から、m=√2n 両辺を2乗すると、m^2=2n^2……②
よって、m^2は偶数であるから、mも偶数である。
ゆえに、mはkを自然数として m=2k……③と表される。
③を②に代入すると 4k^2=2n^2 よって n^2=2k^2
ゆえに、n^2は偶数であるから、nも偶数である。
mとnがともに偶数となることは、mとnが1以外の正の公約数をもたないことに矛盾する。
よって、√2は無理数である。


 バーンとなるのはここ。

mとnがともに偶数となることは、mとnが1以外の正の公約数をもたないことに矛盾する。


 あと、ここもマトリョーシカみたいで好き。

mはkを自然数として m=2k……③と表される。
③を②に代入すると 4k^2=2n^2 よって n^2=2k^2
ゆえに、n^2は偶数である


 で、バーンとなって解決するのが背理法でとても気持ちよいんだけど、この文章はどうしてわざわざ書かれているんだろう?

√2は、1以外の正の公約数をもたない自然数m,nを用いて
√2=m/n……①と表される


 有理数の定義に互いに素なんてあったっけ? 有理数と互いに素について、白チャートにはこう書いてある。

整数と分数をまとめた数が有理数である。また、整数mはm/1と分数の形に表すことができるので、有理数はm/n(m,nは整数、n≠0)の形に表される数と定義される。(p44)
2つの整数i,jが1以外に公約数を持たないとき、iとjは互いに素であるという。(p93)


 困ったときのgoogle先生で、「互いに素 有理数」と検索すると色々ヒットした。まず、yahoo知恵袋から。「無理数無理数であることを証明するときなぜ互いに素である整数を使うのですか」という質問への回答。互いに素を持ち出す理由はこうみたい。

証明すべき無理数有理数であると仮定し、「互いに素」という条件に反する結果を導いて矛盾を示すためです。

無理数を無理数であることを証明するときなぜ互いに素である整数を使うのですか。 - Yahoo!知恵袋


 ベストアンサーにはこうあった。有理数はけっきょく互いに素な整数の分数の形になるということなのかな。

√2はある定数ですから、必ず一つの値に定まります。
なので互いに素で無い整数p',q'を使って√2=p'/q'と書けるはずですが、p',q'は互いに素でないので約分できて、互いに素な整数p,qについて√2=p'/q'=p/qとなります。
結局どんな整数p',q'を使って√2を表しても、その分数は互いに素な整数p,qを使って現わせてしまうので、
曖昧さを取り払うために、一意に定まる「互いに素な整数p,q」を使っているのです。

無理数を無理数であることを証明するときなぜ互いに素である整数を使うのですか。 - Yahoo!知恵袋

 んー、ちょっとまだわかりきれてない感じ。もう少し調べると、わんこら日記の人が書いた解説記事があった。そこにこう書いてある。

mとnは互いに素って言うのは分数は2/6=1/3のように一つの数でも色々な表し方がありますが既約な分数は一つに決まって、m/nはその既約な分数であると言うことを表すための条件です。

受験数学かずスクール 背理法の説明と√2は無理数の証明


 既約ってなんだ? 調べると、もうこれ以上分解できない状態のことみたい。

きやく【既約 irreducible】
数学用語。あるものがより単純なものに帰着する場合,またはより単純なものに分解する場合に可約であるといい,そうでないとき既約であるという。

既約 とは - コトバンク


 わんこら日記の記事の続きに、√2は無理数の証明の口語訳みたいのが書かれてる。あっ、マトリョーシカみたいなやり方で2の倍数を二つ作って、はじめに仕掛けておいた互いに素をバーンとさせるのか。そうか。

√2を有理数と仮定するとmとnを互いに素な整数として

√2=m/n

と表せる。

でとりあえずnを両辺にかける妄想をしていって

n√2=m

とまあこんなん間違った式ですけど、妄想は論理的です。

これはとりあえず√をとるために両辺2乗して

2n^2=m^2

この式から左辺は偶数なのでmは2の倍数です。
だからkを整数としてm=2kと表せます。
代入して

2n^2=4k^2

n^2=2k^2

で右辺は偶数なのでnは2の倍数です。
だからhを整数としてn=2hと表せます。

ここでm=2kとn=2hは両方2で割り切れるから、さっきのmとnは互いに素な整数であることに矛盾していることがわかります(別の言葉で言うとm/nは既約分数であったが2k/2hは既約分数ではないから矛盾)

受験数学かずスクール 背理法の説明と√2は無理数の証明

f:id:Hokanoko:20140609091236p:plain
 はじめに互いに素を仕掛けておいて
f:id:Hokanoko:20140609091259p:plain
 マトリョーシカみたいなやり方で2の倍数を二つ作って
f:id:Hokanoko:20140609091316p:plain
 バーンとさせるみたいな。

 なるほどなー、よくわかった。でも、わんこらに書かれてある通り、僕もこう思う。

背理法の妄想はどこに向かっていいのかわからないのが難しいところです。
やっぱりうまく矛盾に導くためにパズル的な操作をしてるので、勘がよくないと出来なさそう

受験数学かずスクール 背理法の説明と√2は無理数の証明


 続きにこうある。

ですがそうでもありません。
だいたいパターンって限られているので、色々な背理法の問題を経験しておいたらどっかで使えるようになってきます。

受験数学かずスクール 背理法の説明と√2は無理数の証明


 いいこと聞いたぞ。そうなんだ。